By Mid Point Formula ,
In the cordinates of Mid point ,
[tex]X = \frac{ x_{1}+x_{2}}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Y = \frac{y_{1}+y_{2}}{2}[/tex]
Applying formula for pt. M
Cordinates of A = ( 1 , 5 )
Cordinates of B = ( 9 , 7 )
So,
[tex]x_{1}=1 \: \: \: \: \: x_{2}= 9 \: \: \: \: \: \: \: y_{1}= 5 \: \: \: \: \: \: \: y_{2} = 7 [/tex]
[tex]Mid \: point \: \: of \: \: AB \: \: or \: \: M = (x, y) \\ \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = ( \frac{1 + 9}{2}, \frac{5 + 7}{2} )\\ \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: =( \frac{10}{2}, \frac{12}{2} ) \\ \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = (5, 6)[/tex]
So, M = ( 5 , 6 )
Now applying formula for pt. N
Cordinates of B = ( 9 , 7 )
Cordinates of C = ( 7 , 13 )
So,
[tex]
x_{1}=9 \: \: \: \: \: x_{2}= 7 \: \: \: \: \: y_{1}=7 \: \: \: \: \: \: y_{2}= 13[/tex]
[tex]Mid \: point \: \: of \: \: BC \: \: or \: \: N = ( x , y )\\ \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = ( \frac{9 + 7}{2}, \frac{7 + 13}{2} )\\ \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: =( \frac{16}{2} , \frac{20}{2} )\\ \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = (8, 10)[/tex]
N = ( 8 , 10 )
Now ,
By Distance formula ,
M = ( 5 , 6 )
[tex]x_{1}=5 \: \: , \: \: y_{1}= 6[/tex]
N = ( 8 , 10 )
[tex]x_{2}=8 \: \: , \: \: y_{2}=10 [/tex]
Therefore,
[tex]Distance = \sqrt{ ( x_{2} - x_{1}) ^{2} +( y_{2}- y_{1})^{2})} [/tex]
[tex]
Distance = \sqrt{ ( 8 - 5 )^{2} + ( 10 - 6 )^{2}} [/tex]
[tex]Distance = \sqrt{ 3^{2}+4^{2}} [/tex]
Distance = √25
Distance = 5 units
[tex] \boxed{ \bold{ \underline{Therefore, \: \: correct \: \: option \: \: is \: \: C . }}}[/tex]
